抽屉原则及其他
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抽屉原则及其他
抽屉原则
“今年新招了三百七十一名同学,他们都年满六岁但还不到七岁,我说呀,这么多的新同学中间,一定有两个人是同年、同月、同日出生的。小同学们,你们说对不对?”
根据常识,一个人的头发的根数不会超过二十万,因此,在一个拥有二十多万人口城市中,一定有那么两个人,他们的头发的根数相同。
**原则一:**把多于n个的元素按任一确定的方式分成n个集合,那么一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素。
**原则二:**把多余m\*n个的元素按任一确定的方式分或n个集合,那么一定有一个集合中含有m+1个或m+1个以上的元素。
**原则三:**把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合,那么至少有一个集合中仍含无穷多个元素。
以上三个原则都称为抽屉原则。
例 1
在边长为 1 的正方形内任意放置五个点,求证:其中必有两点,这两点之间的距离不大于√2/2。
证明 将这个正方形的两对边上的中点连接起来,把它分成四个大小相等的小正方形(图 1)。在大正方形里任意放置五个点,就相当于把五个点以任一确定的方式投放在这四个小正方形中。这里,我们把每一个小正方形看成一个“抽屉”,于是问题就归结为把五个元素(点)放入四个“抽屉”(小正方形)。
根据前节的原则一,必有一个小正方形,其中包含两个或两个以上的点。对于其中的两点,它们间的距离不会超过小正方形对角线的长度(即大正方形对角线长度的一半),即不大于√2/2。
不论题型如何变化,最难的还是正确的找到抽屉。
同余和剩余类
一个任一
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